题目：
假设你有一个 n 维的随机向量 \mathbf{X} ，其中每个元素都服从标准正态分布，即有 \mathbf{X} \sim N(\mathbf{0}, \mathbf{I}) 。现在你要用这个随机向量来估计一个 m 维的参数向量 \mathbf{p} ，其中 m < n 。为了实现这一目标，你可以计算 \mathbf{X} 和 \mathbf{p} 的内积 \mathbf{p}^T \mathbf{X} ，并设定一个阈值 \theta ，用于判断 \mathbf{p}^T \mathbf{X} 是否满足一定条件。
请问，对于给定的 \mathbf{p} 和 \theta ， \mathbf{p}^T \mathbf{X} 满足条件的概率是多少？请你给出解题思路或具体解法。
示例：
假设 n = 4 ， m = 2 ， \mathbf{p} = \begin{matrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \end{matrix} 和 \theta = 0 ，则 \mathbf{p}^T \mathbf{X} 的期望为 0 ，方差为 1+4+9+16=30 ，因此 \mathbf{p}^T \mathbf{X} 满足条件 \mathbf{p}^T \mathbf{X} > \theta 的概率为 \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_0^{\infty} e^{-\frac{x^2}{2}} dx = \frac{1}{2} 。
请注意，本题的解决方案并不唯一，您可以自由发挥，只要满足上述条件即可。